중국 후베이성 무한시에서 발견된 신종 코로나 바이러스 감염(COVID-19)은 2020년 1월 하순부터 전 세계로 유행을 확대하고 있습니다. 중국을 제외한 감염자 수를 정리한 그래프를 YouTube 수학 해설 채널인 3Blue1Brown에서 공개하고 있으며, 약 1개월 반 만에 기하급수적으로 확대되고 있음을 알 수 있습니다.
다음의 그래프는 2020년 1월 22일(수)부터 2020년 3월 6일(금)까지 중국 본토를 제외한 총 감염자 수의 추이를 나타내는 그래프입니다. 세로축은 감염자 수, 가로축은 일자를 나타냅니다. 감염자 수는 전날의 약 1.15배에서 약 1.25배 증가하고 있으며 '기하급수적으로 증가하고 있다'라고 샌더슨 씨는 지적하고 있습니다.
'N'은 1일 감염자 수
'E'는 감염된 사람이 매일 접촉하는 평균 인원수
'p'를 감염자의 접촉에 의해 감염에 이르는 확률로 한다면...
하루에 늘어난 감염자 수는 다음 식으로 표시됩니다. 'd'는 일자를 나타내는 변수입니다. 위의 식을 다음과 같이 표현하면 Nd는 특정일의 감염자 수, Nd+1은 1일 이후 감염자 수가 됩니다(1+E * p)는 감염자 수의 증가로 나타낼 수 있습니다. N은 하루만의 감염자 수 이므로, 감염자 수가 증가할수록 감염이 빠르게 확대될 수 있습니다.
얼마나 빠른 속도로 감염자 수가 증가하고 있는지 다음 그래프를 보면 잘 알 수 있습니다. 다음의 그래프에서 세로축의 감염자 수를 나타내는 눈금은 10, 100, 1000.....으로 표시되어 있고, 그래프는 직선에 가까운 형태입니다.
이 그래프를 보면 약 20일 만에 감염자 수가 100명에서 1000명으로 증가하고, 약 13일 만에 감염자 수가 1000명에서 만 명으로 증가하고 있습니다.
그리고 그래프의 기울기에서 평균적으로 약 16일마다 감염자 수가 10배가 된다는 예측이 가능합니다.
만약 앞으로도 약 16일마다 감염자 수가 10배가 된다면 30일 이후에는 100만 명, 47일 후 에는 1000만 명, 64일 후에억 명, 81일 후인 5월 말 경에는 10억 명에 도달할 수 있습니다.
"물론, 이러한 증가가 계속되는 일은 없을 것입니다"라고 3Blue1Brown의 운영자인 그랜트 샌더슨 씨는 말하고 있습니다. 중증 급성 호흡기 증후군 (SARS) 감염자 수는 약 8,000명으로 끝났고 스페인 독감은 당시 세계 인구의 약 27%, 약 5 억 명이 감염되고 끝났습니다. 샌더슨 씨는 '신종 코로나 바이러스에 의한 감염도 언젠가는 끝날 것입니다. 문제는 그것이 언제인가 라는 것입니다'라고 말합니다.
또한 감염자 수는 반드시 지구의 총인구를 초과하지 않는 것으로부터, 'pop. size'를 총인구, 감염자의 접촉에 의해 감염에 이를 확률 'p'를 '1 -(마이너스) 총감염자의 비율'로 나타냈을 때......
총 감염자 수 'N'의 추이를 나타내는 계산식은 일정한 값으로 수렴하는 로지스틱 방정식으로 나타낼 수 있습니다. 그래프의 세로축은 감염자 수, 그래프의 가로축은 일수입니다. 로지스틱 곡선의 수렴점은 최악의 경우, 지구의 총인구가 됩니다.
로지스틱 곡선도 중간까지는 기하급수적으로 증가하지만, '변곡점(Inflection point)'을 기점으로 증가율이 감소하기 시작합니다. 감염자 수의 증가율이 줄어들어, 감소로 돌아서는 지점이 변곡점으로 간주됩니다.
감염자 수가 증가하는 사이, 어느 날의 감염자 수를 전날의 감염자 수로 나눈 성장인자는 1을 초과한 값입니다. 예를 들어, 3월 4일의 성장인자는 3월 4일 감염자 2964명을 3월 3일의 감염자 수인 2159명으로 나눈 값으로 약 1.37입니다. 성장 인자가 1을 초과하는 경우에는 로지스틱 곡선은 기하급수적으로 증가하고 1보다 작으면 수렴으로 향합니다.
예를 들어, 현재 감염자 수가 약 2만 1000명으로 성장 인자가 1.15를 유지하고 있다면 61일 이후 감염자 수는 1억 명을 초과할 수 있습니다.
성장 인자가 1.05까지 떨어졌다 하더라도 61일 이후 감염자 수는 40만 명입니다.
샌더슨 씨는 '성장인자를 낮추기 위해 어떻게 해야 좋을까?'라는 문제의 답은 각 개인이 외출을 피하고, 사람이 모이는 곳에 가지 않도록 하고, 손을 자주 씻는 등 예방에 힘써 줄 것'이라고 말하고 있습니다.
감염의 확대 자체에 관해서는 영상에서 고려하지 않은 점이 몇 가지 있습니다. 감염자의 잠복기와 회복인 및 사망인은 바이러스를 전파할 수 없다는 점 등을 상세하게 반영하고 있지 않기 때문에 동영상에 나타난 그래프는 "현실적인 그래프가 아니라 적시 사례 연구로 기하급수 및 로지스틱 방정식에 대하여 설명하기 위한 그래프"임을 샌더슨 씨는 강조하고 있습니다.
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